[확률분포] 이항분포

1. 동전 던지기의 분포, 왜 이항분포일까?

동전을 던지면 항상 두 가지 결과만 나옵니다.

• 앞면(성공)
• 뒷면(실패)

이처럼 **오직 두 가지 결과(성공/실패)**만 가능한 실험을
통계에서는 **베르누이 시행(Bernoulli trial)**이라고 부릅니다.

 

그리고
이러한 실험을 여러 번 반복했을 때의 성공 횟수 분포가 바로

이항분포(Binomial Distribution) 입니다.

 

2. 이항분포는 이런 상황에서 등장한다

이제 동전을 3번 던진다고 해볼게요.

가능한 사건 예시는 다음과 같습니다:

• 앞 / 앞 / 앞 → 성공 3번
• 앞 / 앞 / 뒤 → 성공 2번
• 앞 / 뒤 / 앞 → 성공 2번
• 뒤 / 앞 / 앞 → 성공 2번
• 앞 / 뒤 / 뒤 → 성공 1번
• 뒤 / 앞 / 뒤 → 성공 1번
• 뒤 / 뒤 / 앞 → 성공 1번
• 뒤 / 뒤 / 뒤 → 성공 0번

총 8가지 경우의 수가 존재하며
이 중에서 예를 들어 성공 2번이 나올 확률은
3가지 조합이 존재하기 때문에:

 

3 × 0.125 = 0.375

 

이 계산 방식이 바로 이항분포 공식입니다.

 

 

3. 이항분포 공식, 딱 하나만 기억하면 된다

Pr(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

 

이 공식은 이렇게 읽으면 정말 쉽습니다:

• 전체 n번 시행 중
• 성공을 k번 고르는 조합 수 ×
• 성공이 k번 일어날 확률 ×
• 실패가 n−k번 일어날 확률

즉,

“성공/실패가 명확한 실험을 n번 반복했을 때,
성공이 k번 나올 확률을 알려주는 공식”

 

4. 왜 동전 던지기는 이항분포를 따를까?

동전 던지기가 이항분포의 대표 사례인 이유는 아주 단순합니다.

• 결과가 2개(앞/뒤)
• 각 시행이 서로 독립
• 성공 확률이 매번 동일(0.5)

이 세 가지 조건이 만족되기 때문에,
동전을 여러 번 던졌을 때의 “앞면 횟수”는 완벽한 이항분포가 됩니다.

 

 

 

정리하면

 

성공/실패가 있는 실험을 여러 번 반복했을 때,
성공 횟수가 따르는 분포가 바로 이항분포이다.

 

동전 던지기는 이 개념을 가장 단순하게 보여주는 훌륭한 예시입니다.